Matematica discreta Esempi

$5 x - 3 y + 4 z = 7$ , $5 x + 2 y - 2 z = 11$ , $20 x - 7 y + 10 z = 32$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 5 & - 3 & 4 \\ 5 & 2 & - 2 \\ 20 & - 7 & 10 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ 11 \\ 32 \end{array}]$

Passaggio 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 5 & - 3 & 4 \\ 5 & 2 & - 2 \\ 20 & - 7 & 10 \end{array}]$ .

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Passaggio 2.1

Write $[\begin{array}{c} 5 & - 3 & 4 \\ 5 & 2 & - 2 \\ 20 & - 7 & 10 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 5 & - 3 & 4 \\ 5 & 2 & - 2 \\ 20 & - 7 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 7 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$5 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 7 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} |$

Passaggio 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.2.9

Add the terms together.

$5 | \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 7 & 10 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.3

Calcola $| \begin{array}{c} 2 & - 2 \\ - 7 & 10 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 (2 \cdot 10 - (- 7 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $2$ per $10$ .

$5 (20 - (- 7 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica $- (- 7 \cdot - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Moltiplica $- 7$ per $- 2$ .

$5 (20 - 1 \cdot 14) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $14$ .

$5 (20 - 14) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $14$ da $20$ .

$5 \cdot 6 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.4

Calcola $| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ 20 & 10 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 6 + 3 (5 \cdot 10 - 20 \cdot - 2) + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $5$ per $10$ .

$5 \cdot 6 + 3 (50 - 20 \cdot - 2) + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $- 20$ per $- 2$ .

$5 \cdot 6 + 3 (50 + 40) + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $50$ e $40$ .

$5 \cdot 6 + 3 \cdot 90 + 4 | \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$

Passaggio 2.5

Calcola $| \begin{array}{c} 5 & 2 \\ 20 & - 7 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$5 \cdot 6 + 3 \cdot 90 + 4 (5 \cdot - 7 - 20 \cdot 2)$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $5$ per $- 7$ .

$5 \cdot 6 + 3 \cdot 90 + 4 (- 35 - 20 \cdot 2)$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $- 20$ per $2$ .

$5 \cdot 6 + 3 \cdot 90 + 4 (- 35 - 40)$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $40$ da $- 35$ .

$5 \cdot 6 + 3 \cdot 90 + 4 \cdot - 75$

Passaggio 2.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Moltiplica $5$ per $6$ .

$30 + 3 \cdot 90 + 4 \cdot - 75$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $3$ per $90$ .

$30 + 270 + 4 \cdot - 75$

Passaggio 2.6.1.3

Moltiplica $4$ per $- 75$ .

$30 + 270 - 300$

Passaggio 2.6.2

Somma $30$ e $270$ .

$300 - 300$

Passaggio 2.6.3

Sottrai $300$ da $300$ .

$0$

$D = 0$

Passaggio 3

Since the determinant is $0$ , the system cannot be solved using Cramer's Rule.